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2022年9月 1日 (木)

2022年灘中入試算数1日目9番を解いて

AB=x, AD=y, CD=zとおく。さらに求める比z/y=tとおく。

ア=150°を90°と60°に分解したくなるので、BC上に点Eをおき、∠BAE=60°とすると∠EAD=90°

BC=5x, CE=4xとなる。

ピタゴラスの定理より、ED*2=x*2+y*2=(4x)*+z*2

ゆえに15x*2=y*2-z*2  式①

 

AからBCに垂線をひきBCと交わった点をFとするとBF=9/2x

ピタゴラスの定理より、AC*2=3/4x*2+(9/2x)*2=21x*2

∠EAD+∠ECD=180°なので、共円点定理より、E,A,C,Dは同一円周上にある。

トレミーの定理より、ED×AC=AE×CD+AD×CE 両辺を二乗して式を代入。

(x*2+y*2)21x*2={xz+(4xy)}*2 両辺をx*2で割ると

21x*2+21y*2=z*2+8yz+16y*2

式①を代入して、

7/5(y*2-z*2)+21y*2=z*2+8yz+16y*2

両辺をy*2で割って、tの一変数二次方程式に変形して、

7/5(1-t*2)+21=t*2+8t+16

12t*2+40t-32=0 

3t*2+10t-8=0   この二次方程式を解くとt>0より

t={-5+root(25+24)}/3=2/3 答え

 

ネット上で見かけませんので、小学生には難しいけどシンプルな解法を記しておきました。ポイントは、円を透視して辺の長さだけで関係式が成り立つトレミーの定理に持ち込むところと、方程式を二つ立てx,y,zの三変数からy,zの二変数に減らして、tの一変数方程式に変換するところ。あとはシンプルに解くだけ。比を問う問題なら方べきの定理も動員します。問題文に記されている条件をすべて使い切っているか目視が必要ですし、補助線をこちょこちょ引く作業は不要です。これは微積分や図形軌跡で大学入試に応用できます。

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